Diario del corso di Analisi Matematica 1 - 2024/25
prof. Marco Sabatini
Mercoledì 18/12/2024.
Esercizi d'esame: integrali impropri. Integrazione per sostituzione.
Martedì 17/12/2024.
Esercizi d'esame: integrali impropri. Integrazione in senso generalizzato da -∞ a +∞. Integrazione in senso generalizzato di funzioni illimitate in più punti.
Giovedì 12/12/2024.
Esercizi d'esame: funzioni. Integrali impropri. Integrabilità in senso improprio delle potenze di 1/x in [1,+∞) e in (0,1]. Teorema del confronto asintotico per integrali impropri.
Mercoledì 11/12/2024.
Esercizi d'esame: proprietà di funzioni integrali. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali con denominatore di grado 1. Introduzione al metodo dei fratti semplici.
Martedì 10/12/2024.
Esercizi d'esame: proprietà di funzioni integrali. Integrazione di prodotti di esponenziali, polinomi e funzioni trigonometriche.
Giovedì 5/12/2024.
Esercizi d'esame: derivabilità. Teorema fondamentale del calcolo. Area del segmento di parabola. Lista di antiderivate elementari.
Mercoledì 4/12/2024.
Esercizi d'esame: estremi di funzioni su intervalli; confronto di ordini di infinito. Linearità, monotonia e additività dell'integrale. Definizione di funzione integrale ed esempi. Teorema della media integrale.
Martedì 3/12/2024.
Esercizi d'esame: continuità e derivabilità. Area di figure piane. Costruzione dell'integrale di Riemann. Integrabilità di funzoni continue e di funzioni monotone. Esempio di funzione non integrabile.
Giovedì 28/11/2024.
Esercizi d'esame: studi di funzione. Derivate di funzioni inverse di funzioni trigonometriche.
Mercoledì 27/11/2024.
Esercizi d'esame: studi di funzione. Applicazione della formula di Taylor allo studio di massimi, minimi e flessi di una funzione.
Martedì 26/11/2024.
Esercizi d'esame: formula di Taylor di funzioni composte. Insiemi convessi e funzioni convesse o concave. Relazione tra convessità e segno della derivata seconda.
Giovedì 21/11/2024.
Esercizi d'esame: studio di funzione. Formula di Taylor. Formula di Taylor di ex, sen x, cos x.
Mercoledì 20/11/2024.
Esercizi d'esame: calcolo di un limite applicando il teorema di de L'Hospital. Confronto tra ordini di infinito di esponenziali, logaritmi e potenze di x. Studio del grafico di una funzione.
Martedì 19/11/2024.
Una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante. Primitive/antiderivate di funzioni elementari. Teoremi di Cauchy e de l'Hospital.
Giovedì 14/11/2024.
Esercizi d'esame: potenze con esponente reale. Lemma di Fermat. Relazione tra estremi di una funzione e zeri della derivata.Teoremi di Rolle e Lagrange. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della derivata.
Mercoledì 13/11/2024.
Esercizi d'esame: derivate di funzioni composte. Una funzione continua su un intervallo è invertibile se e solo se è strettamente monotona. Punti cuspidali. Formula del differenziale e retta tangente. Una funzione derivabile è continua. Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni iperboliche.
Martedì 12/11/2024.
Derivate delle funzioni elementari: funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, potenze con esponente reale. Derivazione delle funzioni composte. Punti angolosi.
Giovedì 7/11/2024.
Esercizi d'esame: proprietà di funzioni continue. Algoritmo della divisione tra polinomi. Definizione e significato geometrico della derivata. Derivazione di potenze di x. Algebra delle derivate.
Mercoledì 6/11/2024.
Esercizi d'esame: periodicità e limitatezza di funzioni. Il teorema di Weierstrass. Il teorema dei valori intermedi. Applicazione dei teoremi di Weierstrass e Bolzano alla ricerca di estremi e zeri di funzioni continue. Massimi e minimi locali. Soluzioni di equazioni algebriche di grado dispari.
Martedì 5/11/2024.
Esercizi d'esame: asintoti. Teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Bolzano.
Giovedì 24/10/2024.
Esercizi d'esame: monotonia, successioni ricorsive. Teorema di composizione dei limiti nel caso di una funzione continua e di una convergente. Relazioni tra limiti di funzioni e limiti di successioni.
Mercoledì 23/10/2024.
Esercizi d'esame: successioni ricorsive, asintoti. Infiniti, infinitesimi, funzioni asintotiche e simboli di Landau.
Martedì 22/10/2024.
Definizione e proprietà elementari delle funzioni continue (a destra, a sinistra). Salto di funzioni discontinue. La funzione parte intera non è continua. Continuità di funzioni razionali. Continuità delle funzioni composte. Esercizi d'esame: continuità di funzioni definite a tratti.
Giovedì 17/10/2024.
Estensione delle definizioni di limite alle funzioni. Limiti finiti o infiniti per x tendente a +∞, a -∞,
ad x0, ad x0+, ad x0-. Asintoti orizzontali, asintoti obliqui. Estensione ai limiti di funzioni dei teoremi sui limiti delle successioni. Limiti di funzioni monotone.
Mercoledì 16/10/2024.
Esercizi d'esame: parità di funzioni. Rappresentazione grafica di successioni definite per ricorrenza. Limiti di successioni monotone. Forme indeterminate. Limiti di successioni reciproche. Convergenza ad un limite da sopra o da sotto.
Martedì 15/10/2024.
Esercizi d'esame: limitatezza di funzioni. Definizione e proprietà elementari di limiti infiniti di successioni. Limiti di funzioni razionali. Successioni definite per ricorrenza.
Giovedì 10/10/2024.
Esercizi d'esame: campo di esistenza di funzioni. Teoremi del confronto, dei due carabinieri, di permanenza del segno. Algebra dei limiti. Esercizi di calcolo di limiti.
Mercoledì 9/10/2024.
Esercizi d'esame: proprietà elementari di funzioni. Definizione di limite finito per una successione. Unicità del limite. Calcolo di limiti applicando la definizione.
Martedì 8/10/2024.
Esercizi d'esame: test a risposta multipla su proprietà elementari di funzioni composte. Richiami su potenze, esponenziali e logaritmi. Successioni, sottosuccessioni, code. Monotonia di successioni.
Giovedì 26/9/2024.
Esercizi d'esame. Parte intera e mantissa di un numero reale. Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiore ed inferiore. Insiemi limitati inferiormente o superiormente. Operazioni elementari su grafici: grafico di f(x) + k, kf(x), f(x+k), f(kx).
Mercoledì 25/9/2024.
Cerchio trigonometrico e radianti. Seno, coseno, tangente. Formule per seno e coseno di somma di angoli. Formule di duplicazione. Inversione di funzioni trigonometriche: arcoseno e arcocoseno. Proprietà elementari di funzioni pari o dispari. Funzioni monotone e loro proprietà elementari.
Martedì 24/9/2024.
Definizione di funzione. Composizione e funzioni inverse. Simmetria dei grafici delle funzioni inverse. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva.
Giovedì 19/9/2024.
Esercizi su sistemi di disequazioni frazionarie. Modulo di un numero reale e sue proprietà elementari. Disuguaglianza triangolare. Disequazioni coinvolgenti moduli. Intervalli aperti, chiusi, semiaperti, semichiusi. Intervalli in senso improprio o generalizzato. Funzioni pari, dispari e simmetrie dei loro grafici. Decomposizione di una funzione nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari.
Mercoledì 18/9/2024.
L'insieme delle parti di un insieme. Il numero dei sottoinsiemi di un insieme. Il grafo dei sottoinsiemi di {1,2,3} ordinati per inclusione. Compatibilità delle relazioni d'ordine degli insiemi numerici N, Z, Q, R con le operazioni algebriche. Risoluzione di disequazioni e di sistemi di disequazioni elementari. Risoluzione di disequazioni parametriche.
Martedì 17/9/2024.
Introduzione al corso. Descrizione delle modalità d'esame. Elementi di teoria degli insiemi. Contenimento, unione, intersezione, complemento, differenza, differenza simmetrica di insiemi. Analogie tra algebra degli insiemi ed algebra numerica.