Diario del corso di Analisi Matematica 1 - 2023/24

prof. Marco Sabatini

  • Martedì 19/12/2023.
    Simulazione di compito d'esame.

  • Giovedì 14/12/2023.
    Risoluzione di esercizi d'esame: integrali dipendenti da un parametro e calcolo di limiti con la formula di Taylor. Divisione tra polinomi.

  • Mercoledì 13/12/2023.
    Risoluzione di esercizi d'esame: Integrali dipendenti da un parametro.

  • Martedì 12/12/2023.
    Integrazione per sostituzione.

  • Giovedì 7/12/2023.
    Integrazione di prodotti di polinomi per seni e coseni, di prodotti di esponenziali per seni e coseni. Integrazione per parti. Integrazione di prodotti di polinomi per logaritmi.

  • Mercoledì 6/12/2023.
    Teoremi della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Integrazione di prodotti di polinomi per esponenziali.

  • Martedì 5/12/2023.
    Area di figure piane. L'integrale di Riemann per funzioni limitate. Linearità, additività, monotonia dell'integrale. Integrabilità di funzioni continue o monotone. Esempio di funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet.

  • Giovedì 30/11/2023.
    Esercizi d'esame: limiti.

  • Mercoledì 29/11/2023.
    Esercizi d'esame: limiti. Additività, linearità, monotonia dell'integrale. Antiderivate.

  • Martedì 28/11/2023.
    Esercizi d'esame: calcolo di limiti con la formula di Taylor. Definizione dell'integrale di Riemann.

  • Giovedì 23/11/2023.
    La formula di Taylor.

  • Mercoledì 22/11/2023.
    Esercizi d'esame: studi di funzione.

  • Martedì 21/11/2023.
    Insiemi convessi/concavi e funzioni convesse/concave. Relazione tra convessità e segno della derivata seconda. Studio di funzione.

  • Giovedì 16/11/2023.
    Teoremi di Cauchy e di de L'Hospital. Confronto tra ordini di infinito: log x, xn, ex.

  • Mercoledì 15/11/2023.
    Studio della monotonia stretta di una funzione mediante il segno della derivata. Studi di funzione. Esercizi.

  • Martedì 14/11/2023.
    Derivate di ordine superiore al primo. Lemma di Fermat. Teorema di Lagrange. Relazione tra monotonia di una funzione e segno della derivata prima.

  • Giovedì 9/11/2023.
    Derivate destra e sinistra. Derivate infinite. Punti angolosi e cuspidali. Formula del differenziale ed equazione della tangente al grafico di una funzione. Limite di xn per n tendente a +∞. Esercizi.

  • Mercoledì 8/11/2023.
    Derivazione di funzioni composte. Derivate delle funzioni elementari. Esercizi.

  • Martedì 7/11/2023.
    Massimi e minimi locali. Esempi di funzioni senza massimi o minimi, ma con massimi o minimi locali. Definizione e significato geometrico della derivata. Algebra delle derivate. Derivabilità di polinomi e funzioni razionali.

  • Giovedì 26/10/2023.
    Il teorema di Weierstrass. Estensione del teorema di Weierstrass a funzioni definite su insiemi non limitati.

  • Mercoledì 25/10/2023.
    Il teorema di Bolzano (teorema degli zeri o dei valori intermedi). Estensione del teorema di Bolzano a funzioni definite su insiemi non limitati.

  • Martedì 24/10/2023.
    Continuità. Le funzioni elementari sono continue. Continuità delle funzioni composte. Limiti di funzioni composte con funzioni o con successioni. Limiti di funzioni monotone.

  • Giovedì 19/10/2023.
    Limiti infiniti per x tendente ad x0, ad x0+, ad x0-. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.

  • Mercoledì 18/10/2023.
    Estensione della definizione di limite al caso di x tendente ad x0, ad x0 da destra, ad x0 da sinistra. Limiti delle potenze di x con esponente positivo. Simmetria della relazione O-grande. Antisimmetria e transitività della relazione o-piccolo. Algebra degli o-piccolo.

  • Martedì 17/10/2023.
    Teorema di Bolzano-Weierstrass. Estensione della definizione di limite a funzioni reali di variabile reale, per x tendente a +∞ o -∞. Estendibilità di teoremi validi per limiti di successioni a limiti di funzioni: Unicità, confronto, permanenza del segno, algebra dei limiti ed altro. Forme indeterminate. Limiti di funzioni razionali. Infiniti ed infinitesimi di ordine superiore ed inferiore. Simboli di Landau: o-piccolo ed O-grande.

  • Giovedì 12/10/2023.
    Esercizi sui limiti di successioni contenenti radici. Studio di successioni ricorsive, al variare del valore iniziale: successioni costanti, periodiche, oscillanti, monotone. Successione di Fibonacci.

  • Mercoledì 11/10/2023.
    Limitatezza e convergenza di successioni prodotto. Successioni ricorsive e loro limiti. Rappresentazione grafica delle successioni ricorsive. Limiti di successioni monotone.

  • Martedì 10/10/2023.
    Limiti di successioni polinomiali. Teorema fondamentale dell'algebra. Limiti di successioni definite da funzioni razionali, quando il grado del numeratore è > del grado del denominatore. Limiti di successioni frazionarie con termini polinomiali e non.

  • Giovedì 5/10/2023.
    Limiti di successioni definite da funzioni razionali, quando il grado del numeratore è ≤ del grado del denominatore. Definizione di limite infinito per successioni. Teorema del confronto per successioni divergenti. Algebra con limiti infiniti. Forme indeterminate ∞ - ∞, ∞ . 0, ∞/∞.

  • Mercoledì 4/10/2023.
    Domande a risposta multipla. Funzioni iperboliche e loro inverse. Arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Fattoriale di un numero naturale. Coefficienti binomiali e binomio di Newton.

  • Martedì 3/10/2023.
    Richiami sulle potenze ad esponente naturale, intero, razionale, reale. Funzione esponenziale e sua inversa, il logaritmo. Grafici di potenze, esponenziali, logaritmi. Funzioni e successioni (inferiormente, superiormente) limitate.

  • Giovedì 28/9/2023.
    Teoremi del confronto e della permanenza del segno per le successioni. Limiti di successioni del tipo 1/n^k. Algebra dei limiti. Richiami di trigonometria.

  • Mercoledì 27/9/2023.
    Domande a risposta multipla su monotonia e parità di funzioni. Successioni. Successioni costanti, periodiche, monotone. Sottosuccessioni e code. Definizione di limite finito. Unicità del limite. Esempi di successioni aventi limite e di successioni non aventi limite. Punti limite di successioni.

  • Martedì 26/9/2023.
    Domande a risposta multipla su monotonia e parità di funzioni. Parte intera e mantissa di un numero reale. Grafici di funzioni definite usando la parte intera o il modulo. Studio del grafico di f(x) + T, f(x+T), Tf(x), f(Tx) a partire dal grafico di f(x).

  • Giovedì 21/9/2023.
    Disequazioni coinvolgenti moduli. Funzioni composte. Funzioni monotone. Proprietà di monotonia e parità di funzioni composte. Studio del grafico di alcune funzioni composte studiando la monotonia delle funzioni componenti.

  • Mercoledì 20/9/2023.
    Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive, inverse. Una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva. Grafico della funzione inversa. Funzioni pari e dispari e simmetrie dei loro grafici. Decomposizione di una funzione in somma della sua parte pari e della sua parte dispari.

  • Martedì 19/9/2023.
    Compatibilità tra operazioni algebriche e relazione d'ordine numerica. Relazione con traslazioni e omotetie. Risoluzione di alcune semplici disequazioni in R. Intervalli aperti, chiusi, semiaperti. Intervalli in senso esteso.

  • Venerdì 15/9/2023.
    Algebra degli insiemi; proprietà formali e confronto con le proprietà formali delle operazioni in insiemi numerici. Ordinamento per inclusione. Ordinamento dei naturali per divisibilità e relativo grafo. Insiemi limitati superiormente o inferiormente. Dualità. Massimi e minimi. Cenni sulla costruzione degli insiemi numerici: N, Z, Q, R. L'equazione x2 = 2 non ha soluzioni razionali.

  • Giovedì 14/9/2023.
    Introduzione al corso. Descrizione delle modalità d'esame. Elementi di teoria degli insiemi. Contenimento, unione, intersezione, complemento, differenza, differenza simmetrica di insiemi.