Diario del corso di Analisi Matematica 1 - 2022/23

prof. Marco Sabatini

  • Giovedì 22/12/2022.
    Integrazione di potenze di funzioni trigonometriche. Svolgimento di esercizi d'esame.

  • Mercoledì 21/12/2022.
    Integrazione di funzioni razionali. Esercizi d'esame su funzioni integrali.

  • Martedì 20/12/2022.
    Integrazione per sostituzione.

  • Giovedì 15/12/2022.
    Applicazione della formula di integrazione per parti all'integrazione di particolari classi di funzioni: prodotti di polinomi, esponenziali, funzioni trigonometriche.

  • Mercoledì 14/12/2022.
    Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti mediante primitive. Primitive di funzioni elementari. Metodo di integrazione per parti.

  • Martedì 13/12/2022.
    Estensione della definizione di integrale: estremi coincidenti o in ordine inverso. Integrabilità di funzioni continue o monotone. La funzione di Dirichlet non è integrabile. Definizione di funzione integrale. Calcolo esplicito della funzione integrale per le funzioni f(x) = 1 e f(x) = x.

  • Mercoledì 7/12/2022.
    La costruzione dell'integrale di una funzione limitata. Proprietà elementari dell'integrale: monotonia, additività, linearità. Relazione tra integrale di una funzione positiva e area del trapezoide. Integrali di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici rispetto all'origine. Calcolo dell'integrale della funzione x.

  • Martedì 6/12/2022.
    Studio della convessità locale e dei flessi mediante il segno delle derivate di ordine superiore al primo. Svolgimento di un esercizi d'esame: domande a risposta multipla e studio di funzione.

  • Giovedì 1/12/2022.
    Formule di Taylor di 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x2), arctg x, log(1+x). Formula di Taylor e derivate. Antiderivate o primitive di funzioni definite su intervalli. Calcolo di limiti con la formula di Taylor.

  • Mercoledì 30/11/2022.
    La formula di Taylor. Formule di Taylor di ex, senh x, cosh x, sen x, cos x. Calcolo di limiti con la formula di Taylor.

  • Giovedì 24/11/2022.
    Teoremi di Cauchy e di De L'Hospital. Calcolo di limiti mediante il teorema di De L'Hospital. Confronto tra infiniti: ex, xa, log x.

  • Mercoledì 23/11/2022.
    Esercizi d'esame sugli studi di funzione. Convessità, concavità e relazione con il segno della derivata seconda. Studio di massimi e minimi mediante il segno della derivata seconda. Flessi ascendenti e discendenti.

  • Martedì 22/11/2022.
    Introduzione agli studi di funzione. Svolgimento di un esercizio d'esame.

  • Giovedì 17/11/2022.
    Punti cuspidali ed angolosi. Equazione della tangente al grafico di una funzione derivabile. Lemma di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Relazione tra monotonia della funzione e segno della derivata.

  • Mercoledì 16/11/2022.
    Derivate di funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche. Derivazione di funzioni composte ed inverse.

  • Martedì 15/11/2022.
    Definizione di derivata, derivata destra e sinistra. Una funzione derivabile in un punto è continua in quel punto. Le funzioni xn sono derivabili. Algebra delle derivate. Le funzioni razionali sono derivabili. La funzione |x| non è derivabile nell'origine. Punti cuspidali.

  • Giovedì 10/11/2022.
    Limiti notevoli. Inversione delle funzioni iperboliche: settsenh x, settcosh x.

  • Mercoledì 9/11/2022.
    Teorema dei valori intermedi. L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo. Teorema di Weierstrass per funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Una funzione continua è invertibile se e solo se è strettamente monotona. L'inversa di una funzione continua è continua.

  • Martedì 8/11/2022.
    Altri casi di limiti delle funzioni composte. Teorema degli zeri per funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato. Soluzioni di equazioni algebriche di grado dispari. Zeri di funzioni continue su intervalli illimitati. Vari tipi di discontinuità. Discontinuità eliminabili, discontinuità con salto. Funzione salto.

  • Giovedì 27/10/2022.
    Definizione di funzione continua, continua a destra, continua a sinistra in un punto. Continuità delle funzioni elementari: funzioni razionali, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, potenze ad esponente reale, modulo. Discontinuità di parte intera e mantissa. Teorema sui limiti delle funzioni composte.

  • Mercoledì 26/10/2022.
    Definizioni di limite di una funzione, finito o infinito, per x -> x0, per x -> x0-, per x -> x0+. Asintoti verticali. Esercizi sui limiti di funzioni.

  • Martedì 25/10/2022.
    Esercizi d'esame: domande a risposta multipla sulle successioni. Asintoti orizzontali ed obliqui.

  • Giovedì 20/10/2022.
    Esercizi d'esame: domande a risposta multipla su insiemi di definizione, periodicità, limitatezza. Definizioni di limite infinito per funzioni di variabile reale, per x -> + ∞ e per x -> - ∞. Estensione di proprietà dei limiti di successioni: unicità del limite, confronto, limitatezza parziale di funzioni divergenti. Forma indeterminata del tipo ∞ per 0. Limiti di funzioni monotone.

  • Mercoledì 19/10/2022.
    Definizioni di limite per funzioni di variabile reale. Estensione ai limiti di funzioni di proprietà dei limiti di successioni: unicità del limite, confronto, algebra dei limiti, limitatezza di funzioni convergenti. Limiti di funzioni razionali. Forme indeterminate del tipo ∞ - ∞, ∞ / ∞, 0 / 0. Infiniti ed infinitesimi di ordine superiore/inferiore. Simboli di Landau: o(f(x)) e O(f(x)). Algebra degli o(f(x)) e O(f(x)).

  • Martedì 18/10/2022.
    Esercizi d'esame: domande a risposta multipla su insiemi di definizione, simmetria di grafici, periodicità. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limite della radice ennesima di a, per a non negativo.

  • Giovedì 13/10/2022.
    Esercizi d'esame: domande a risposta multipla su limiti delle successioni. Grafici di funzioni potenza con esponente negativo. Limiti di successioni monotone. Limiti di successioni del tipo an, per a reale.

  • Mercoledì 12/10/2022.
    Definizione di limite infinito. La successione an tende a + ∞ se e solo se 1 / an tende a 0 positivamente. Limiti di funzioni razionali con numeratore e denominatore di grado qualsiasi. Limitatezza di successioni convergenti. Limitatezza inferiore di successioni divergenti a + ∞, limitatezza superiore di successioni divergenti a - ∞. La successione an tende a 0 se e solo se |an| tende a 0. Grafici di funzioni potenza con esponente positivo.

  • Martedì 11/10/2022.
    Esercizi d'esame: domande a risposta multipla su limiti delle successioni. Algebra dei limiti delle successioni: limiti di somma, prodotto, rapporto di due successioni. Limite di funzioni razionali con numeratore e denominatore dello stesso grado.

  • Giovedì 6/10/2022.
    Coefficienti binomiali e formula della potenza ennesima di un binomio (binomio di Newton). Teoremi di permanenza del segno. Teoremi del confronto e dei due carabinieri. Funzioni iperboliche. Inversione delle funziioni trigonometriche: arcsen x, arccos x, arctan x.

  • Mercoledì 5/10/2022.
    Unicità del limite di una successione. Se una successione converge a L, tutte le sue sottosuccessioni convergono a L. Successioni con più sottosuccessioni convergenti. Successioni senza sottosuccessioni convergenti. Potenze ad esponente reale. Funzioni esponenziali. Fattoriale di un numero naturale.

  • Martedì 4/10/2022.
    Successioni, sottosuccessioni, code. Successioni definite per ricorrenza e loro rappresentazione grafica. Successioni periodiche, crescenti, decrescenti. Definizione di limite di una successione.

  • Giovedì 29/9/2022.
    Misura di angoli ed archi in radianti. Funzioni trigonometriche e loro proprietà elementari. Valori notevoli, periodicità, parità, formule di addizione e di duplicazione. Disequazioni coinvolgenti funzioni trigonometriche. Parte intera e mantissa.

  • Mercoledì 28/9/2022.
    Grafico di f(x) + T, f(x + T), T f(x), f(T x). Metodo grafico per la risoluzione di disequazioni. Modulo di un numero reale. Disequazioni con moduli. Disequazioni parametriche.

  • Martedì 27/9/2022.
    Inversa della funzione x2 e definizione di radice quadrata aritmetica. Il grafico della funzione inversa si ottiene per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Funzioni pari e dispari. Simmetrie di grafici di funzioni pari e dispari. Decomposizione di una funzione in somma della sua parte pari e della sua parte dispari. Monotonia (crescenza o decrescenza) di funzioni. Funzioni composte. Parità di funzioni composte. Monotonia di funzioni composte.

  • Giovedì 22/9/2022.
    Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori di insiemi. Dualità. Insiemi limitati superiormente e/o infreriormente. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive, invertibili. Invertibilità di funzioni biiettive.

  • Mercoledì 21/9/2022.
    Compatibilità tra operazioni algebriche e relazione d'ordine numerica. Relazione con traslazioni e omotetie. Risoluzione di alcune semplici disequazioni in R. Intervalli ed intervalli in senso esteso. Cenni sulla costruzione degli insiemi numerici: N, Z, Q, R.

  • Martedì 20/9/2022.
    Elementi di teoria degli insiemi. Relazione tra operazioni insiemistiche e operatori logici. Contenimento, unione, intersezione, complemento, differenza, differenza simmetrica di insiemi. Algebra degli insiemi; proprietà formali e confronto con le proprietà formali delle operazioni in insiemi numerici. Dualità. Ordinamento per inclusione. Ordinamento dei naturali per divisibilità e relativo grafo.

  • Lunedì 19/9/2022.
    Introduzione al corso. Descrizione delle modalità d'esame.