Diario del corso di Equazioni differenziali ordinarie, A. A. 2024-25

prof. Marco Sabatini

  • Venerdì 23/5/2025.
    Risoluzione di esercizi d'esame.

  • Mercoledì 21/5/2025.
    Indice di punti critici iperbolici. Costruzione di campi vettoriali con punti critici di indice prefissato. Settori ellittici, iperbolici e parabolici di un punto critico isolato. Calcolo dell'indice di un punto a partire dal numero di settori ellittici ed iperbolici. L'indice di un ciclo di un sistema differenziale è 1. L'indice di un campo lungo una curva di Jordan è la somma degli indici dei punti critici racchiusi in essa.

  • Venerdì 16/5/2025.
    Risoluzione di esercizi d'esame. Indice di una curva rispetto a un punto. Indice di un campo vettoriale rispetto ad una curva di Jordan. Indice di un campo vettoriale in un punto critico isolato.

  • Mercoledì 14/5/2025.
    Ritratto di fase del sistema equivalente all'equazione z' = zn. Stabilità e attrattività interna ed esterna di un ciclo. Sezioni di sistemi differenziali. Mappe di Poincaré. Teorema di Poincaré-Bendixson. Studio della stabilità di un ciclo mediante mappa di Poincaré. Risoluzione di un esercizio d'esame.

  • Venerdì 9/5/2025.
    Proprietà di sistemi con divergenza di segno costante. Teorema di Liouville. Equazioni differenziali nei complessi con tempo reale. Corrispondenza tra equazioni nei complessi e sistemi differenziali piani. Integrali primi. Studio della dinamica di sistemi equivalenti a z' = z2, z' = z3.

  • Mercoledì 7/5/2025.
    Fattori integranti inversi e loro relazione con fattori integranti e integrali primi. Fattori integranti inversi dei sistemi di Lotka-Volterra e di Kolmogorov. I punti limite dei sistemi gradiente sono punti critici. Un sistema hamiltoniano planare non ha cicli limite. Un ciclo limite di un sistema con un fattore integrante inverso è contenuto nell'insieme degli zeri del F.I.I.. Ogni sistema differenziale è sottosistema di un sistema hamiltoniano.

  • Mercoledì 23/4/2025.
    Principio di invarianza di LaSalle e sua applicazione alle equazioni del secondo ordine. Coniugio. Teorema di Grobman-Hartmann. Teorema di Liapunov sulla stabilità in prima approssimazione. Funzioni di Dulac e fattori integranti. La dinamica di un sistema con un fattore integrante è hamiltoniana.

  • Mercoledì 16/4/2025.
    Studio della stabilità mediante integrali primi. Insieme simultaneamente stabili e negativamente stabili. Attrazione e stabilità asintotica. Teorema di Liapunov sulla stabilità asintotica. Funzioni proprie. Stabilità asintotica globale.

  • Venerdì 11/4/2025.
    Orbite eterocliniche ed omocliniche. Un insieme limite compatto è connesso. Funzioni definite e semidefinite positive o negative. Teorema di stabilità di Liapunov.

  • Mercoledì 9/4/2025.
    Sistemi dinamici definiti da sistemi differenziali in RN. Chiusura dell'insieme dei punti fissi. L'insieme dei punti periodici può essere o no chiuso. Insiemi limite. Proprietà elementari degli insiemi limite. Cicli limite.

  • Mercoledì 2/4/2025.
    Definizione di sistema dinamico. Esempi: famiglie di dilatazioni, omotetie e flussi combinati. Punti fissi e orbite chiuse. Insiemi (positivamente, negativamente) invarianti e proprietà topologiche degli insiemi (positivamente, negativamente) invarianti.

  • Venerdì 28/3/2025.
    Curve invarianti. Condizioni affinchè un sistema di Liénard nel piano di fase abbia una retta invariante. Condizioni affinchè un sistema di Liénard nel piano di Liénard abbia una retta invariante. Un sistema di Liénard con una circonferenza invariante.

  • Mercoledì 26/3/2025.
    La curvatura delle orbite dei sistemi differenziali autonomi. Curvatura delle orbite dei sistemi differenziali lineari. Curvatura delle orbite dei sistemi di Liénard.

  • Venerdì 21/3/2025.
    Classificazione dei sistemi lineari a coefficienti costanti in R2. Nodi, selle, centri, fuochi. Sistemi degeneri.

  • Mercoledì 19/3/2025.
    Cambiamenti di variabili. Trasformazioni triangolari, passaggio in coordinate polari, rotazioni nonlineari. Riparametrizzazioni.

  • Venerdì 14/3/2025.
    Derivate di funzioni lungo le soluzioni di un sistema differenziale. Funzioni di Liapunov. Integrali primi. Sistemi gradiente. Sistemi hamiltoniani. Sistemi misti. Sistemi non hamiltoniani con integrali primi.

  • Mercoledì 12/3/2025.
    Richiami sulle curve. Intervallo massimale di esistenza. Sistemi differenziali autonomi. Il teorema di esistenza e unicità per sistemi differenziali del primo ordine. Dipendenza regolare da parametri e valori iniziali.

  • Venerdì 7/3/2025.
    Metodi risolutivi per le equazioni di Riccati e Bernoulli. Introduzione all'uso del programma di calcolo simbolico Maple.

  • Mercoledì 5/3/2025.
    Esempio di equazione con infinite soluzioni passanti per ogni punto iniziale. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e formula risolutiva delle equazioni lineari non omogenee scalari. Analisi della dinamica delle soluzioni di varie equazioni non omogenee.

  • Venerdì 28/2/2025.
    Problemi di Cauchy, al bordo, di Neumann, misti e relazioni con modelli. Formula risolutiva delle equazioni scalari a variabili separabili. Esempi di equazioni a variabili separabili, studio di simmetrie e separatrici.

  • Mercoledì 26/2/2025.
    Introduzione al corso. Esempi di equazioni differenziali come modelli di fenomeni fisici e biologici. Risoluzione delle equazioni x' = 0 e x'' = 0.