Diario del corso di Equazioni differenziali ordinarie, A. A. 2023-24
prof. Marco Sabatini
Venerdì 31/5/2024.
Svolgimento di prove d'esame degli anni precedenti.
Mercoledì 29/5/2024.
Settori ellittici, iperbolici, parabolici. Decomposizioni settoriali. Il teorema dell'indice di Poincaré. Un sistema gradiente non ha orbite omocliniche. Un sistema hamiltoniano non ha settori ellittici o parabolici.
Venerdì 24/5/2024.
L'indice di una curva rispetto ad un punto. L'indice di un campo vettoriale rispetto a una curva. L'indice di un punto critico rispetto ad un campo vettoriale. Invarianza per omotopia degli indici ed altre proprietà.
Mercoledì 22/5/2024.
Il teorema di Poincaré-Bendixson. Equazioni differenziali nei complessi. Sistemi equivalenti ad equazioni nei complessi. Integrali primi di sistemi equivalenti ad equazioni nei complessi. L'equazione z' = zn. Sistemi contemporaneamente hamiltoniani e gradiente.
Venerdì 17/5/2024.
Teorema di Bendixson. Teorema di Liouville. Stabilità interna ed esterna di un ciclo. Cicli semistabili. Sezioni di un campo vettoriale. Mappa di Poincaré e relazione con la dinamica del sistema vicino ad un ciclo.
Mercoledì 15/5/2024.
Fattori integranti e fattori integranti inversi. Un sistema hamiltoniano piano non ha cicli limite. Sistemi hamiltoniani in dimensione superiore con cicli limite. Ogni sistema differenziale è un sottosistema di un sistema hamiltoniano in dimensione doppia.
Venerdì 10/5/2024.
Teorema di Liapunov sulla stabilità in prima approssimazione. Richiami su gradienti, potenziali, forme differenziali chiuse ed esatte, teorema di Green.
Mercoledì 8/5/2024.
Stabilità asintotica globale. Il principio di invarianza di LaSalle. Applicazione del Il principio di invarianza di LaSalle allo studio della stabilità asintotica di punti di equilibrio di sistemi differenziali piani. Coniugio e coniugio locale. Teorema di Hartman-Grobman.
Venerdì 3/5/2024.
Definizione di attrattore. Esempio di attrattore non stabile. Definizione di stabilità asintotica e teoremi di Liapunov. Applicazione del teorema di Liapunov allo studio della stabilità asintotica di insiemi compatti in sistemi differemziali planari.
Mercoledì 24/4/2024.
Un insieme limite compatto è connesso. Definizione di stabilità per un insieme compatto. Funzioni definite e semidefinite. Teorema di stabilità di Liapunov. Regione di attrazione di un compatto.
Venerdì 19/4/2024.
Chiusura dell'insieme dei punti fissi. Insiemi di punti periodici aperti o chiusi. Insiemi limite. Invarianza e chiusura di un insieme limite. Insiemi limite di sistemi gradiente. Cicli limite. Orbite eterocliniche ed omocliniche.
Mercoledì 17/4/2024.
Sistemi con orbite quasi-periodiche. Definizione di un flusso mediante le soluzioni di un sistema differenziale. Riparametrizzazioni di sistemi non completi. Insiemi invarianti e proprietà topologiche dell'invarianza.
Venerdì 12/4/2024.
Definizione di sistema dinamico. Esempi: famiglie di traslazioni, dilatazioni, omotetie. Punti fissi e punti periodici.
Mercoledì 10/4/2024.
Rappresentazione al computer di orbite di sistemi differenziali piani. Uso di animazioni per mostrare le differenti dinamiche di soluzioni di sistemi con le stesse orbite. Definizione di sistema dinamico, di sistema semidinamico, di sistema dinamico discreto.
Venerdì 5/4/2024.
Curve invarianti di un sistema differenziale. Condizione necessaria e sufficiente affinché una curva piana sia invariante per un sistema piano. Studio delle condizioni affinché un sistema di Liénard abbia una retta invariante.
Mercoledì 27/3/2024.
La curvatura delle orbite di un sistema differenziale. Studio della curvatura delle orbite di un sistema lineare a coefficienti costanti. Condizioni affinché un sistema di Liénard abbia orbite con curvatura di segno costante.
Venerdì 22/3/2024.
Classificazione dei sistemi lineari piani a coefficienti costanti: nodo, nodo stellato, nodo non diagonalizzabile, centro, fuoco. Sistemi degeneri.
Mercoledì 20/3/2024.
Il teorema di esistenza ed unicità per sistemi differenziali del primo ordine. Costruzione della famiglia delle soluzioni di un sistema del primo ordine di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Sistemi omogenei. Inizio della classificazione dei sistemi lineari piani a coefficienti costanti: autovalori positivi distinti.
Venerdì 15/3/2024.
Trasformazioni triangolari. Passaggio in coordinate polari.
Mercoledì 13/3/2024.
Esempio di sistema non hamiltoniano con due integrali primi. Sistemi misti hamiltoniani-gradiente. Equazioni del secondo ordine: equazioni conservative, del pendolo, di van der Pol, di Liénard, con dissipazione quadratica. Cambio di variabili per il sistema di Liénard.
Venerdì 8/3/2024.
Equazioni di Riccati e di Bernoulli. Funzioni ausiliarie e derivate lungo le soluzioni di un sistema differenziale. Sistemi hamiltoniani. Sistemi gradiente.
Mercoledì 6/3/2024.
Risoluzione di alcune equazioni differenziali scalari del primo ordine a variabili separabili. La famiglia delle soluzioni di un'equazione autonoma è invariante per t-traslazioni. Formula risolutiva delle equazioni lineari omogenee e non omogenee. Risoluzione di alcune equazioni differenziali lineari non omogenee e rappresentazione delle soluzioni.
Venerdì 1/3/2024.
Equazioni a variabili separabili. Separatrici. Rappresentazione orbitale della famiglia delle soluzioni.
Mercoledì 28/2/2024.
Introduzione al corso. Esempi di equazioni differenziali come modelli di fenomeni fisici e biologici. Risoluzione dell'equazione x(n) = 0. Sistemi del primo ordine equivalenti ad equazioni di ordine superiore.