Diario del corso di Equazioni differenziali ordinarie, A. A. 2022-23

prof. Marco Sabatini

  • Venerdì 26/5/2023.
    Svolgimento di esercizi d'esame.

  • Mercoledì 24/5/2023.
    Decomposizioni settoriali. Il teorema di Poincaré-Bendixson. Svolgimento di un esercizio d'esame.

  • Venerdì 19/5/2023.
    L'indice di una curva piana rispetto ad un punto. L'indice di un campo vettoriale rispetto ad una curva. L'indice di un punto critico isolato rispetto a un campo vettoriale. Settori ellittici, iperbolici e parabolici. Teorema dell'indice di Poincaré (calcolo dell'indice a partire dal numero di settori ellittici e iperbolici).

  • Mercoledì 17/5/2023.
    Integrali primi di equazioni differenziali nei complessi. Diagrammi di fase delle equazioni z' = zn. Svolgimento di un esercizio d'esame.

  • Venerdì 12/5/2023.
    Mappa di Poincaré e relazione con la dinamica di un sistema vicino ad un ciclo.

  • Mercoledì 10/5/2023.
    Relazione tra reversibilità, cicli, orbite σ-invarianti e punti fissi. Introduzione alle equazioni differenziali nei complessi.

  • Venerdì 5/5/2023.
    Proprietà orbitali di sistemi con funzioni di Dulac non banali. Teorema di Liouville. Simmetrie e reversibilità di flussi e di sistemi differenziali. Caratterizzazione di sistemi differenziali simmetrici e reversibili.

  • Mercoledì 3/5/2023.
    Funzioni di Dulac, fattori integranti e fattori integranti inversi. F.I.I. di sistemi di Lotka-Volterra. Sistemi a variabili separabili. Un sistema hamiltoniano piano non ha cicli limite. Ogni sistema differenziale è sottosistema di un sistema hamiltoniano.

  • Venerdì 28/4/2023.
    Il principio di invarianza di LaSalle. Flussi coniugati. Il teorema di Grobman-Hartmann. Il teorema di stabilità asintotica in prima approssimazione.

  • Mercoledì 26/4/2023.
    Attrazione e stabilità asintotica. Teoremi di Liapunov sulla stabilità asintotica. Stabilità della soluzione di equilibrio dei sistemi di Liénard. Funzioni proprie. Stabilità asintotica globale.

  • Venerdì 21/4/2023.
    Un insieme limite compatto è connesso. Un esempio di insieme limite sconnesso. Orbite eterocliniche ed omocliniche. Insiemi limite di sistemi gradiente. Definizione di stabilità per insiemi compatti. Teorema di Liapunov sulla stabilità di un insieme compatto.

  • Mercoledì 19/4/2023.
    Rappresentazione al computer di orbite di sistemi in dimensione 4. Proprietà topologiche di insiemi invarianti. Proprietà topologiche degli insiemi limite. Definizione di ciclo limite.

  • Venerdì 14/4/2023.
    Introduzione ai sistemi dinamici e semidinamici. Famiglie di traslazioni, omotetie, rotazioni e loro combinazioni. Insiemi limite. Punti fissi e periodici.

  • Mercoledì 12/4/2023.
    Curve invarianti di sistemi differenziali. Ricerca di curve invarianti risolvendo sistemi di equazioni. Rette invarianti dei sistemi di Liénard. Un sistema di Liénard con una circonferenza invariante.

  • Mercoledì 5/4/2023.
    La curvatura delle soluzioni dei sistemi differenziali. Studio della curvatura delle soluzioni dei sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti. La curvatura delle soluzioni dei sistemi di Liénard.

  • Venerdì 31/3/2023.
    Classificazione dei sistemi lineari a coefficienti costanti nel piano: fuoco, centro. Riparametrizzazioni di campi vettoriali per avere soluzioni complete.

  • Mercoledì 29/3/2023.
    Costruzione della successione di funzioni approssimante le soluzioni di un sistema lineare a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Sistemi omogenei. Classificazione dei sistemi lineari a coefficienti costanti nel piano: nodo, nodo stellato, nodo non diagonalizzabile, sella.

  • Venerdì 24/3/2023.
    Il teorema di esistenza ed unicità per sistemi differenziali del primo ordine.

  • Mercoledì 22/3/2023.
    Equazioni del secondo ordine conservative. Equazioni di van der Pol e di Liénard. Cambi di variabili. Trasformazioni triangolari. Passaggio in coordinate polari.

  • Venerdì 17/3/2023.
    Sistemi hamiltoniani con hamiltoniana dipendente dal tempo. Sistemi misti hamiltoniani -gradiente. Sistemi con integrali primi definiti in spazi di dimensione dispari. Sistemi con più integrali primi.

  • Mercoledì 15/3/2023.
    Procedimento risolutivo delle equazioni di Riccati e Bernoulli. Analisi del comportamento asintotico delle soluzioni. Sistemi gradiente ed hamiltoniani.

  • Venerdì 10/3/2023.
    Formulazione generale del Problema di Cauchy. Soluzioni massimali ed intervalli di esistenza massimali. Formula risolutiva delle equazioni lineari non omogenee. Un'equazione con soluzioni non complete. Un'equazione senza unicità delle soluzioni.

  • Mercoledì 8/3/2023.
    Risoluzione esplicita delle equazioni x(n)  =  0. Condizioni iniziali, al bordo, di Neumann, miste. Sistemi del primo ordine equivalenti ad equazioni di ordine n. Risoluzione delle equazioni a variabili separabili. Formula risolutiva delle equazioni lineari omogenee.

  • Venerdì 3/3/2023.
    Introduzione al corso. Esempi di equazioni differenziali come modelli di fenomeni fisici e biologici.