Diario del corso di Equazioni differenziali ordinarie, A. A. 2021-22

prof. Marco Sabatini

  • Lunedì 30/5/2022.
    Svolgimento di esercizi d'esame.

  • Venerdì 27/5/2022.
    Indice di un punto critico isolato rispetto ad un campo vettoriale. Indici di punti critici di campi lineari non degeneri. Per ogni intero n esiste un campo vettoriale con un punto critico isolato di indice n. Teorema di Poincaré sull'indice di un campo vettoriale rispetto ad una curva che racchiude un numero finito di punti critici. Settori ellittici, iperbolici, parabolici. Formula dell'indice per punti critici con decomposizioni settoriali.

  • Giovedì 26/5/2022.
    Indice di una curva chiusa rispetto ad un punto. Indice di un campo vettoriale rispetto ad una curva chiusa di Jordan. Proprietà elementari degli indici: invarianza per diffeomorfismi e per omotopie ammissibili.

  • Lunedì 23/5/2022.
    Il teorema di Poincaré-Bendixson ed applicazione alla ricerca di cicli limite. Equazioni differenziali nel campo complesso. Sistemi differenziali reali equivalenti ad equazioni complesse. Integrazione di equazioni autonome. Integrali primi di equazioni autonome. Equazioni olomorfe. Sistemi differenziali reali simultaneamente hamiltoniani e gradiente.

  • Venerdì 20/5/2022.
    Il teorema di Liapunov sulla stabilità asintotica. Funzioni proprie e stabilità asintotica globale. Il principio di invarianza di LaSalle. Applicazione allo studio della stabilità asintotica dell'equilibrio dei sistemi di Liénard. Sistemi topologicamente coniugati. Il teorema di Hartman-Grobman. Il teorema di Liapunov sullo studio della stabilità mediante gli autovalori della linearizzazione nel punto di equilibrio.

  • Giovedì 19/5/2022. Applicazione del teorema di Liapunov allo studio della stabilità dell'equilibrio dei sistemi di Liénard e di altri sistemi equivalenti ad equazioni del secondo ordine.

  • Lunedì 16/5/2022.
    Definizioni di stabilità e stabilità negativa per un insieme compatto. Teorema di Liapunov sulla stabilità di un insieme compatto. Regioni di attrazione e di repulsione di un insieme compatto. Definizione di attrattore e di repulsore. Definizione di stabilità asintotica e di stabilità asintotica negativa. Costruzione di esempi con varie proprietà di stabilità ed attrattività.

  • Venerdì 13/5/2022.
    Esempi di insiemi di punti periodici chiusi. Un insieme limite è chiuso e invariante. La chiusura di una semi-orbita positiva si ottiene aggiungendo ad essa l'insieme limite positivo. Un insieme limite compatto è connesso.

  • Giovedì 12/5/2022.
    Punti fissi e punti periodici. L'insieme dei punti fissi è chiuso, quello dei punti periodici non necessariamente. Insiemi limite positivi e negativi.

  • Venerdì 6/5/2022.
    Flussi ottenuti combinando flussi elementari. Flussi su tori in R4. Flussi e flussi locali definiti da sistemi differenziali. Orbite periodiche e quasi periodiche. Insiemi invarianti, positivamente invarianti, negativamente invarianti. Proprietà topologiche di insiemi invarianti.

  • Giovedì 5/5/2022.
    Definizione di sistema dinamico, di sistema semidinamico, di sistema dinamico discreto. Le t-mappe sono omemomorfismi. Orbite e semiorbite positive e negative. Costruzione di flussi elementari: traslazioni, dilatazioni, rotazioni.

  • Venerdì 29/4/2022.
    La curvatura di una curva in RN. Formule della curvatura e della curvatura segnata di una curva piana non parametrizzata dala lunghezza d'arco. Curvatura delle soluzioni di un sistema differenziale. Forma esplicita della curvatura delle soluzioni dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Equazione delle separatrici.

  • Giovedì 28/4/2022.
    Studio di sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti non in forma canonica.

  • Venerdì 22/4/2022.
    Sistemi lineari con autovalori reali e coincidenti: matrice diagonalizzabile e matrice non diagonalizzabile. Sistemi lineari con autovalori immaginari puri. Sistemi lineari con autovalori complessi. Sistemi lineari degeneri.

  • Giovedì 21/4/2022.
    Trasformazione di sistemi lineari a coefficienti costanti in forma canonica. Sistemi lineari con autovalori reali, distinti, concordi in segno.

  • Giovedì 14/4/2022.
    Uso di opportuni moltiplicatori per riportare lo studio di un sistema differenziale a quello di un sistema completo. Sistemi differenziali omogenei.

  • Venerdì 8/4/2022.
    Rappresentazione di orbite mediante un programma interattivo. Passaggio in coordinate polari e sua interpetazione geometrica. Traslazioni e rotazioni nonlineari. Riparametrizzazioni di sistemi differenziali.

  • Giovedì 7/4/2022.
    Comandi elementari in Maple. Rappresentazione di orbite di sistemi differenziali piani con Maple.

  • Venerdì 1/4/2022.
    Sistemi misti Hamilton-gradiente. Sistemi con le stesse orbite. Orbite omocliniche ed eterocliniche. Sistemi non hamiltoniani con più integrali primi. Cambi di variabili. Trasformazioni triangolari e loro interpretazione geometrica. Applicazione di una trasformazione triangolare ai sistemi di Liénard.

  • Giovedì 31/3/2022.
    Funzioni di Liapunov. Sistemi Hamiltoniani. Sistemi gradiente.

  • Venerdì 25/3/2022.
    Completamento della dimostrazione del teorema di esistenza ed unicità. Costruzione della soluzione del problema di Cauchy per sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Derivata di una funzione lungo le soluzioni di un sistema differenziale. Integrali primi.

  • Giovedì 24/3/2022.
    Il teorema di esistenza ed unicità per sistemi differenziali con secondo membro localmente lipschitziano. Equivalenza con un'equazione integrale. Costruzione della successione approssimante la soluzione, prime disuguaglianze.

  • Venerdì 18/3/2022.
    Sistema di equazioni del primo ordine equivalente ad un'equazione di ordine n. Equivalenza di condizioni iniziali, al contorno o miste. Oscillatore lineare e suo ritratto di fase. Equazione del pendolo e suo ritratto di fase. Interpretazione fisica del ritratto di fase. Equazione integrale equivalente ad un problema di Cauchy. Soluzioni massimali ed intervallo massimale di esistenza di una soluzione. Funzioni lipschiziane o localmente lipschiziane.

  • Giovedì 17/3/2022.
    L'equazione di Bernoulli. Simmetrie e metodo risolutivo.

  • Venerdì 11/3/2022.
    Soluzioni analitiche di alcune equazioni lineari non omogenee. Equazioni autonome. Le traslate nel tempo delle soluzioni delle equazioni autonome sono soluzioni. Rappresentazione di soluzioni nello spazio delle fasi. Ritratti di fase di alcune equazioni autonome. L'equazione di Riccati.

  • Giovedì 10/3/2022.
    Equazioni lineari omogenee e non omogenee. Formula risolutiva delle equazioni lineari omogenee. Separatrici. Formula risolutiva delle equazioni lineari non omogenee.

  • Venerdì 4/3/2022.
    Il problema di Cauchy per le equazioni del primo ordine. Problemi al bordo, di Neumann, misti. Ricerca di primitive come equazioni differenziali. Equazioni a variabili separabili, formula risolutiva ed esempi.

  • Giovedì 3/3/2022.
    Introduzione al corso. Esempi di equazioni differenziali come modelli di fenomeni fisici e biologici.